Parcial SyS - 25/10/2018

La primera condición nos dice que  $H(0) = 0$.

La segunda nos da  $H(\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}$ a menos de un parámetro  $\alpha$ 

Cuando existe la transformada de Fourier (i.e. cuando  $\mathscr{R}(\theta)>0$)

O sea,

Entonces,  $X(0) = 1/2$,  $Y(0) = \alpha/4 - 1$, entonces  $H(0) = Y(0)/X(0) = \alpha/2 - 2$ debe ser nulo por la primera condición.

Si la entrada es  $x(t) = e^{-3 t} u(t)$, su espectro es  $X(\omega) = \frac{1}{3+j\omega}$.

Se obtiene  $Y(\omega) = \frac{8}{4 + j\omega} - \frac{6}{3 + j\omega}$, o  $y(t) = (8 e^{-4 t}-6 e^{-3 t}) u(t)$ 

a) Es el área dividido  $2\pi$. O sea,  $x(0) = 1/2\pi$ 

b) Es la componente continua ( $\omega = 0$) de las sucesivas derivadas. Derivar mata la continua, que ya era cero. Da todo cero.

c) Parseval. Área abajo de la parábola que surge de elevar el gráfico al cuadrado, sobre  $2\pi$. Creo que da  $\frac{1}{3\pi}$ 

d) Interpretá a  $x$ como una  $h$ de un sistema. Las exponenciales son autofunciones. Queda  $X(3) e^{j 3 t} = e^{j 3 t}$ 

e) Supongo que se define  $sinc(t) = \frac{sin(\pi t)}{\pi t}$. Defino    $x_{aux}(t) = x(t) \frac{sinc(\frac{2}{\pi} t)}{2/\pi}$. Se pide  $X_{aux}(0)$. Multiplicar en tiempo es convolucionar en el espectro (y dividir por  $2\pi$). La transformada de esa sinc es una ventana rectangular centrada de ancho 4. Reflejo esa ventana (no cambia), la desplazo 0 (no cambia), multiplico e integro. Eso equivale a buscar el área del gráfico entre  $-2<\omega<2$, que da  $\frac{1}{2}$. Lo divido por  $2\pi$ y se obtiene  $\frac{1}{4\pi}$.

Aplicando Fourier a ambos términos de la ecuación diferencial y despejando

Se pide primero la salida de un pulso rectangular de ancho  $2 T_1$ que arranca en  $t=0$ al sistema definido por la ecuación en diferencias.

De la convolución gráfica, sale  $x_c(t)$ 

• Para tiempos negativos la salida es nula.
• Entre  $0 < t < 2T_1$, hay que hacer  $\int_0^t e^{-\alpha \tau} d\tau$=  $\alpha^{-1} - \alpha^{-1} e^{-\alpha t}$ 
• Luego,  $\int_{t-2T_1}^t e^{-\alpha \tau} d\tau = \frac{e^{2 \alpha T_1}-1}{\alpha} e^{-\alpha t}$ 

Luego,  $x(n) = x_c(n T_1)$.

• Vale 0 para los  $n \leq 0$ 
•   $x(1) = \frac{1-q}{\alpha}$ 
• Para  $n \geq 2$ ,  $x(n) = k q^{n-2}$ 

con  $q := e^{-\alpha T_1}$ y  $k:=\frac{1-q^2}{\alpha}$ 

Finalmente se pide una ecuación en diferencias para el sistema discreto, tal que la salida sea  $y(n) = \delta(n-1) + \delta(n-2)$.

Si defino  $h_1(n):=\delta(n) - q \delta(n-1)$, se puede ver gráficamente que  $x_1:=x*h_1$es FIR. En particular,  $x_1(n)=\delta(n-1) x(1)+\delta(n-2) (x(2)-q x(1))=\delta(n-1) \frac{1-q}{\alpha}+\delta(n-2) (k-q \frac{1-q}{\alpha})$.

Pero  $k-q \frac{1-q}{\alpha} = \frac{1-q^2}{\alpha}-\frac{q-q^2}{\alpha}=\frac{1-q}{\alpha}$, entonces  $x_1(n)=\frac{1-q}{\alpha}(\delta(n-1) + \delta(n-2))= y(n) \frac{1-q}{\alpha}$ 

Entonces

La ecuación en diferencias es: