RR
Rui Rojo / Sep 26 2018

Ejercicio

Se tiene la señal  x(t)=e−t×(u(t)−u(t−4))x(t) = e^{-t} \times (u(t) - u(t-4)) 

using SySTools

x(t) = exp(-t) * (u(t) - u(t-4))

plot(x, -1, 5)
76.6s

Se pide su transformada de Fourier.

1.
Por definición

Como dijo Mario, sale bastante fácil.

X(ω)=∫x(t)e−jωtdt=∫04e−te−jωtdt=∫04e−t(jω+1)dt=−e−4(jω+1)−e−0(jω+1)1+jωX(\omega)=\int x(t) e^{-j\omega t} dt = \int_0^4 e^{-t} e^{-j\omega t} dt = \int_0^4 e^{-t(j\omega +1)} dt = -\frac{e^{-4(j \omega + 1)}-e^{-0(j \omega+1)}}{1+j\omega}
X(ω)=1−e−(jω+1)41+jωX(\omega) = \frac{1-e^{-(j \omega + 1) 4}}{1+j\omega}

No justifica partirse la cabeza más que esto.

2.
Por propiedades

...pero si quieren evitar la definición a toda costa...

La señal que sale por tabla más fácil de la cual partimos es la exponencial multiplicada por el escalón. La exponencial sola completa no tiene transformada (es de módulo no integrable, y las deltas no te salvan).

xe(t)=e−tu(t)x_{e}(t) = e^{-t}u(t)
xe(t) = exp(-t)*u(t)

plot(xe, -1, 5)
4.2s

De tabla sacamos:

Xe(ω)=∫xe(t)e−jωtdt=∫0∞et(−1−jω)dt=11+jωX_e(\omega)=\int x_e(t) e^{-j\omega t} dt = \int_0^\infty e^{t(-1-j\omega)} dt = \frac{1}{1+j\omega}
Xe(w) = 1/(1+im*w)

plot(real∘Xe, -6π, 6π)
plot!(imag∘Xe, -6π, 6π)
6.3s
let
  ab = plot(abs∘Xe, -6π, 6π)
  an = plot(angle∘Xe, -6π, 6π)
  
  plot(ab, an, layout=(2, 1))
end
5.2s

2.1.
Escalón

Una posibiliidad para llegar a  xxa partir de  xex_ees multiplicarla por un escalón apropiado  u(4−t)u(4-t).

plot(xe, -1, 5)
plot!(t -> u(4-t), -1, 5)
4.5s

Esto resultaría en una expresión para  XXque implica convolucionar dos cosas complejas que no son pares ni nada Medio fiaca.

U(ω)=∫0∞e−jωtdt=1jω+πδ(ω)U(\omega) = \int_0^\infty e^{-j\omega t} dt = \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)
F[u(4−t)](ω)=U(−ω)e−4jω=e−4jω(πδ(ω)−1jω)=πδ(ω)−e−4jωjω\mathcal{F}[u(4-t)](\omega) = U(-\omega)e^{-4j\omega} = e^{-4j\omega}(\pi \delta(\omega) - \frac{1}{j\omega})=\pi \delta(\omega) - \frac{e^{-4j\omega}}{j\omega}
X(ω)=12π(πδ(ω)−e−4jωjω)∗11+jω=12+j2ω−12π(1+jω)∗e−4jωjωX(\omega) = \frac{1}{2\pi} (\pi \delta(\omega) - \frac{e^{-4j\omega}}{j\omega})*\frac{1}{1+j\omega} = \frac{1}{2+j2\omega} - \frac{1}{2\pi(1+j\omega)} * \frac{e^{-4j\omega}}{j\omega}

y esa última convolución sale pero *blergh*.

Si tengo que integrar igual, ¿para qué evitar hacerla por definición?

2.2.
Ventana rectangular

Alternativamente, se mulitplica por una ventana rectangular, que tiene transformada "sinc". Huele menos peor.

Π(t)=u(t+0.5)−u(t−0.5)\Pi(t) = u(t+0.5) - u(t-0.5)
Π(t) = u(t+0.5) - u(t-0.5)

plot(Π, -1, 1)
4.2s
XΠ(ω)=sin(ω/2)ω/2X_\Pi(\omega) = \frac{sin(\omega/2)}{\omega/2}
XΠ(w) = sin(w/2)/(w/2)

plot(XΠ, -6π, 6π, xticks = -6π:2π:6π, yticks=[0, 1])
5.2s

2.2.1.
entre 0s y 4s

plot(xe, -1, 5)
plot!(t->Π(t/4-0.5), -1, 5)
4.1s

Tenemos que transformar  Π(t/4−0.5)\Pi(t/4-0.5)aplicando primero la propiedad de desplazamiento temporal y luego la de expansión temporal.

Π(t)⟶sin(w/2)w/2\Pi(t) \longrightarrow \frac{sin(w/2)}{w/2}
Π(t−0.5)⟶e−jw/2sin(w/2)w/2\Pi(t-0.5) \longrightarrow e^{-jw/2}\frac{sin(w/2)}{w/2}
Π(t/4−0.5)⟶4e−j2wsin(2w)2w\Pi(t/4-0.5) \longrightarrow 4 e^{-j2w}\frac{sin(2w)}{2w}

Tenemos ahora una sinc pero con un defasaje lineal. Tampoco es agradable de convolucionar.

2.2.2.
centrada entre -4s y 4s

Podíamos haber multiplicado a  xex_e por una señal que valga cualquier cosa para  t<0t<0 pues para esos valores  xe(t)=0x_e(t) = 0. ¿Por qué no elegimos directamente una señal par, así la transformada es real y par?

plot(xe, -5, 5)
plot!(t->Π(t/8), -5, 5)
4.5s
Π(t)⟶sin(w/2)w/2\Pi(t) \longrightarrow \frac{sin(w/2)}{w/2}
Π(t/8)⟶8sin(4w)4w\Pi(t/8) \longrightarrow 8\frac{sin(4w)}{4w}

Está mucho mejor. Pero, sigo teniendo que hacer una convolución. Me quedo con hacerlo por definición.

2.3.
La magia de las exponenciales

Las exponenciales, tanto las de exponente real que conocemos hace años como las de exponente imaginario que vemos tanto en esta materia, o cualquier exponente complejo, tienen una peculiaridad.

es(t−k)=e−skeste^{s (t-k)} =e^{-s k} e^{st}

Ahora que tenemos cancha con las transformaciones del eje temporal, le podemos dar interpretación gráfica a esto que sabemos hace rato. Desplazar a una exponencial equivale multiplicarla por una constante determinada.

plot(xe, -1, 5, w=5, c=:blue)
for k in 0:0.2:2
  plot!(t->xe(t-k), -1, 5, w=1, c=:gray)
end
plot!(t->xe(t-2), -1, 5, w=3, c=:brown)
for k in range(1, stop=exp(-2), length=10)
  plot!(t->k*xe(t-2), -1, 5, w=1, c=:green)
end
plot!(t->exp(-2)*xe(t-2), -1, 5, w=5, c=:red)
7.2s

Si uno tiene esto presente, puede notar que una forma alternativa de escribir a la señal que queremos transformar  xx es la siguiente:

x(t)=xe(t)−e−4×xe(t−4)x(t) = x_e(t) - e^{-4}\times x_e(t-4)

A partir de esta expresión, por tabla y propiedades,  X(ω)X(\omega)sale fácil.

xe(t−4)⟶e−4jωXe(ω)x_e(t-4) \longrightarrow e^{-4j\omega}X_e(\omega)
−e−4xe(t−4)⟶−e−4(jω+1)Xe(ω)-e^{-4} x_e(t-4) \longrightarrow -e^{-4(j\omega+1)}X_e(\omega)
xe(t)−e−4xe(t−4)⟶(1−e−4(jω+1))Xe(ω)x_e(t)-e^{-4} x_e(t-4) \longrightarrow (1-e^{-4(j\omega+1)})X_e(\omega)

Teníamos

Xe(ω)=11+jω X_e(\omega) = \frac{1}{1+j\omega}

entonces

X(ω)=1−e−4(jω+1)1+jωX(\omega) = \frac{1-e^{-4(j\omega+1)}}{1+j\omega}