Ejercicio
Se tiene la señal
using SySTools x(t) = exp(-t) * (u(t) - u(t-4)) plot(x, -1, 5)
Se pide su transformada de Fourier.
1. Por definición
Como dijo Mario, sale bastante fácil.
No justifica partirse la cabeza más que esto.
2. Por propiedades
...pero si quieren evitar la definición a toda costa...
La señal que sale por tabla más fácil de la cual partimos es la exponencial multiplicada por el escalón. La exponencial sola completa no tiene transformada (es de módulo no integrable, y las deltas no te salvan).
xe(t) = exp(-t)*u(t) plot(xe, -1, 5)
De tabla sacamos:
Xe(w) = 1/(1+im*w) plot(real∘Xe, -6π, 6π) plot!(imag∘Xe, -6π, 6π)
let ab = plot(abs∘Xe, -6π, 6π) an = plot(angle∘Xe, -6π, 6π) plot(ab, an, layout=(2, 1)) end
2.1. Escalón
Una posibiliidad para llegar a a partir de es multiplicarla por un escalón apropiado .
plot(xe, -1, 5) plot!(t -> u(4-t), -1, 5)
Esto resultaría en una expresión para que implica convolucionar dos cosas complejas que no son pares ni nada Medio fiaca.
y esa última convolución sale pero *blergh*.
Si tengo que integrar igual, ¿para qué evitar hacerla por definición?
2.2. Ventana rectangular
Alternativamente, se mulitplica por una ventana rectangular, que tiene transformada "sinc". Huele menos peor.
Π(t) = u(t+0.5) - u(t-0.5) plot(Π, -1, 1)
XΠ(w) = sin(w/2)/(w/2) plot(XΠ, -6π, 6π, xticks = -6π:2π:6π, yticks=[0, 1])
2.2.1. entre 0s y 4s
plot(xe, -1, 5) plot!(t->Π(t/4-0.5), -1, 5)
Tenemos que transformar aplicando primero la propiedad de desplazamiento temporal y luego la de expansión temporal.
Tenemos ahora una sinc pero con un defasaje lineal. Tampoco es agradable de convolucionar.
2.2.2. centrada entre -4s y 4s
Podíamos haber multiplicado a por una señal que valga cualquier cosa para pues para esos valores . ¿Por qué no elegimos directamente una señal par, así la transformada es real y par?
plot(xe, -5, 5) plot!(t->Π(t/8), -5, 5)
Está mucho mejor. Pero, sigo teniendo que hacer una convolución. Me quedo con hacerlo por definición.
2.3. La magia de las exponenciales
Las exponenciales, tanto las de exponente real que conocemos hace años como las de exponente imaginario que vemos tanto en esta materia, o cualquier exponente complejo, tienen una peculiaridad.
Ahora que tenemos cancha con las transformaciones del eje temporal, le podemos dar interpretación gráfica a esto que sabemos hace rato. Desplazar a una exponencial equivale multiplicarla por una constante determinada.
plot(xe, -1, 5, w=5, c=:blue) for k in 0:0.2:2 plot!(t->xe(t-k), -1, 5, w=1, c=:gray) end plot!(t->xe(t-2), -1, 5, w=3, c=:brown) for k in range(1, stop=exp(-2), length=10) plot!(t->k*xe(t-2), -1, 5, w=1, c=:green) end plot!(t->exp(-2)*xe(t-2), -1, 5, w=5, c=:red)
Si uno tiene esto presente, puede notar que una forma alternativa de escribir a la señal que queremos transformar es la siguiente:
A partir de esta expresión, por tabla y propiedades, sale fácil.
Teníamos
entonces